82. а) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC (рис. 159, а), если cos A = √5/3, BC = 12 см. б) Найдите длину стороны AB треугольника ABC (рис. 159, б), если ∠C = 60°, а радиус его описанной окружности R = 2√3 см. в) Найдите величину острого угла B треугольника ABC (рис. 159, в), если AC = √8 см, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 2 см.

Используем теорему синусов в форме \(a=2R\sin A\), где \(a\) — сторона, лежащая напротив угла \(A\).

1. а) \(BC=12\) лежит напротив угла \(A\). Находим синус угла: \(\sin^2 A=1-\cos^2 A=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\), поэтому \(\sin A=\frac{2}{3}\). Тогда \(12=2R\cdot\frac{2}{3}\), откуда \(R=9\) см.

2. б) Сторона \(AB\) лежит напротив угла \(C=60^\circ\): \(AB=2R\sin C=2\cdot2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\) см.

3. в) Сторона \(AC=\sqrt{8}\) лежит напротив угла \(B\). Получаем \(\sqrt{8}=2\cdot2\sin B\), значит, \(\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Возможны углы \(45^\circ\) и \(135^\circ\); по схематическому рисунку угол \(B\) острый, поэтому \(B=45^\circ\).

Ответ: а) 9 см; б) 6 см; в) 45°.