82. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм.

Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то точка O является серединой AC и BD. Поэтому в векторной форме:

\(\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}\).

Поскольку A₁, B₁, C₁ и D₁ — середины отрезков OA, OB, OC и OD, имеем:

\(\overrightarrow{OA_1}=\frac12\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB_1}=\frac12\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC_1}=-\frac12\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OD_1}=-\frac12\overrightarrow{OB}\).

Рассмотрим противоположные стороны:

\(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{OB_1}-\overrightarrow{OA_1}=\frac12(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\),

\(\overrightarrow{D_1C_1}=\overrightarrow{OC_1}-\overrightarrow{OD_1}=\frac12(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\).

Следовательно, \(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{D_1C_1}\), значит, стороны A₁B₁ и C₁D₁ параллельны и равны.

Аналогично:

\(\overrightarrow{A_1D_1}=\overrightarrow{OD_1}-\overrightarrow{OA_1}=-\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\),

\(\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{OC_1}-\overrightarrow{OB_1}=-\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\).

Следовательно, \(\overrightarrow{A_1D_1}=\overrightarrow{B_1C_1}\).

Ответ: A₁B₁C₁D₁ — параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно равны и параллельны.