82. На вершину горы проложено три маршрута на подъём и два на спуск (На рисунке 9 изображён вид сверху. Направление маршрута обозначено стрелками.) Найдите наименьшую длину маршрута, по которому турист может подняться на вершину горы и спуститься с неё.

Решение:

Для решения задачи нам нужно рассмотреть все возможные комбинации маршрутов подъёма и спуска и найти ту, чья суммарная длина наименьшая.

Маршруты подъёма:

• Маршрут 1: A → E → F. Длина = 8 км 100 м + 6 км 500 м = 14 км 600 м.
• Маршрут 2: A → F. Длина = 6 км 500 м.
• Маршрут 3: A → N. Длина = 7 км 400 м.

Маршруты спуска:

• Маршрут 4: F → E → A. Длина = 6 км 500 м + 8 км 100 м = 14 км 600 м.
• Маршрут 5: F → A. Длина = 6 км 500 м.
• Маршрут 6: N → A. Длина = 7 км 400 м.
• Маршрут 7: F → N. Длина = 7 км 100 м.
• Маршрут 8: E → A. Длина = 8 км 100 м.

Нужно подняться на вершину и спуститься. Так как на рисунке изображены маршруты, идущие от точки А (предположительно, подножие горы или база) к точке F (вершина), то для подъёма и спуска нам нужно выбрать два разных маршрута, ведущих к вершине и от вершины. Обычно маршруты на подъём и спуск могут быть разными. Однако, в данном контексте, если рисунок изображает пути на гору, то точка F — это вершина, а А — у подножия. Тогда подъём идет от А к F, а спуск от F к А. Нам дано 3 маршрута на подъём и 2 на спуск. Но рисунок показывает только маршруты, исходящие из точки А, идящие к точкам E, F, N. Предположим, что F — это вершина.

Маршруты подъёма (от А к F):

• Маршрут 1 (через E): A → E → F. Длина: 8 км 100 м + 6 км 500 м = 14 км 600 м.
• Маршрут 2 (прямой): A → F. Длина: 6 км 500 м.
• Маршрут 3 (через N): A → N → F. Длина: 7 км 400 м + 7 км 100 м = 14 км 500 м.

Маршруты спуска (от F к А):

На рисунке нет обозначенных маршрутов спуска от F к A. Однако, если предположить, что маршруты симметричны или есть два обозначенных маршрута спуска, то:

• Маршрут 4: F → A. Длина: 6 км 500 м.
• Маршрут 5: F → N → A. Длина: 7 км 100 м + 7 км 400 м = 14 км 500 м.

Теперь найдём наименьшую сумму подъёма и спуска:

1. Подъём (Маршрут 2: A → F) + Спуск (Маршрут 4: F → A) = 6 км 500 м + 6 км 500 м = 13 км.
2. Подъём (Маршрут 2: A → F) + Спуск (Маршрут 5: F → N → A) = 6 км 500 м + 14 км 500 м = 21 км.
3. Подъём (Маршрут 3: A → N → F) + Спуск (Маршрут 4: F → A) = 14 км 500 м + 6 км 500 м = 21 км.
4. Подъём (Маршрут 1: A → E → F) + Спуск (Маршрут 4: F → A) = 14 км 600 м + 6 км 500 м = 20 км 100 м.

Наименьшая длина получается при подъёме по кратчайшему маршруту (A → F) и спуске по кратчайшему маршруту (F → A).

Обратите внимание: В условии сказано «три маршрута на подъём и два на спуск». Если предположить, что на рисунке показаны *все* возможные пути, и мы должны выбрать кратчайший путь подъёма и кратчайший путь спуска, то:

• Кратчайший подъём: A → F (6 км 500 м).
• Кратчайший спуск: F → A (6 км 500 м).

Суммарная длина = 6 км 500 м + 6 км 500 м = 13 км.

Если же считать, что маршруты подъёма и спуска могут быть разными, и нужно выбрать одну пару (подъём + спуск), то:

Наименьший подъём = 6 км 500 м (A→F).

Наименьший спуск = 6 км 500 м (F→A).

Сумма = 6 км 500 м + 6 км 500 м = 13 км.

Рассмотрим другую интерпретацию: 3 маршрута на подъём и 2 на спуск. Предположим, что рисунок слева показывает маршруты подъема, а справа (хотя и выглядит иначе) — маршруты спуска. Но это маловероятно.

Вернёмся к первому рисунку. Предположим, что F - вершина.

Варианты подъема (от А к F):

• 1. A → F: 6 км 500 м
• 2. A → N → F: 7 км 400 м + 7 км 100 м = 14 км 500 м
• 3. A → E → F: 8 км 100 м + 6 км 500 м = 14 км 600 м

Варианты спуска (от F к А):

В условии сказано 2 маршрута на спуск. Если предположить, что они идут из F к A:

• 1. F → A: 6 км 500 м
• 2. F → N → A: 7 км 100 м + 7 км 400 м = 14 км 500 м

Теперь находим минимальную сумму (подъём + спуск):

• Подъём 1 + Спуск 1: 6 км 500 м + 6 км 500 м = 13 км
• Подъём 1 + Спуск 2: 6 км 500 м + 14 км 500 м = 21 км
• Подъём 2 + Спуск 1: 14 км 500 м + 6 км 500 м = 21 км
• Подъём 3 + Спуск 1: 14 км 600 м + 6 км 500 м = 20 км 100 м

Самая короткая комбинация — 13 км.

Ответ: 13 км.