82. Выделите целую часть из дроби и выясните, при каких натуральных n дробь принимает натуральные значения: а) (2n² + 3n + 12)/n; б) (3n² − 8n + 5)/n; в) (n − 7)²/n; г) (2n − 3)³/n³; д) (n² − 8n + 17)/(n − 4); е) (n³ − 6n² + 12n + 3)/(n − 2)².

1. Делим числитель на знаменатель:

   \(\dfrac{2n^2+3n+12}{n}=2n+3+\dfrac{12}{n}\).

   Чтобы значение было натуральным, нужно, чтобы \(n\) было положительным делителем 12. Получаем \(n=1,2,3,4,6,12\).

2. \(\dfrac{3n^2-8n+5}{n}=3n-8+\dfrac{5}{n}\).

   Целое значение возможно при \(n=1\) или \(n=5\). При \(n=1\) дробь равна 0, а это не натуральное число; при \(n=5\) она равна 8. Поэтому \(n=5\).

3. Раскрываем квадрат и выделяем целую часть:

   \(\dfrac{(n-7)^2}{n}=\dfrac{n^2-14n+49}{n}=n-14+\dfrac{49}{n}\).

   Значение целое, если \(n\) — делитель 49: это 1, 7 или 49. При \(n=7\) значение равно 0; при \(n=1\) и \(n=49\) оно равно 36. Поэтому \(n=1,49\).

4. Раскрываем куб и выделяем целую часть:

   \(\dfrac{(2n-3)^3}{n^3}=8-\dfrac{36}{n}+\dfrac{54}{n^2}-\dfrac{27}{n^3}\).

   Если значение — натуральное число, то куб рационального числа \(\dfrac{2n-3}{n}\) является целым числом. Тогда само это рациональное число должно быть целым, то есть \(n\) делит 3. Проверяем \(n=1,3\): при \(n=1\) значение равно \(-1\), при \(n=3\) — 1. Поэтому \(n=3\).

5. Представляем числитель как квадрат знаменателя плюс 1:

   \(\dfrac{n^2-8n+17}{n-4}=\dfrac{(n-4)^2+1}{n-4}=n-4+\dfrac{1}{n-4}\), где \(n\ne4\).

   Для целого значения необходимо, чтобы \(n-4\) делил 1: \(n-4=1\) или \(n-4=-1\). При \(n=5\) значение равно 2, а при \(n=3\) — \(-2\). Поэтому \(n=5\).

6. Делим числитель на квадрат знаменателя:

   \(\dfrac{n^3-6n^2+12n+3}{(n-2)^2}=n-2+\dfrac{11}{(n-2)^2}\), где \(n\ne2\).

   Обозначим \(m=n-2\). Для целого значения требуется, чтобы \(m^2\) делило 11. Поэтому \(m=1\) или \(m=-1\), откуда \(n=3\) или \(n=1\). Значения дроби соответственно равны 12 и 10.

Ответ: а) \(n=1,2,3,4,6,12\); б) \(n=5\); в) \(n=1,49\); г) \(n=3\); д) \(n=5\); е) \(n=1,3\).