83. Диаметр РЕ окружности пересекает хорду МК в точке А, являющейся серединой этой хорды, АМ = 3 см, ∠РКА = 60°. Найдите длину хорды РК.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Дано:

• Окружность с диаметром РЕ.
• Хорда МК пересекает диаметр РЕ в точке А.
• А — середина хорды МК.
• АМ = 3 см.
• ∠РКА = 60°.

Найти:

• Длину хорды РК.

Решение:

1. Понимание условия: Нам дана окружность, её диаметр РЕ и хорда МК. Важно, что диаметр пересекает хорду в её середине (точка А). Это значит, что РЕ перпендикулярно МК, если это не указано явно, то это не обязательно, но мы знаем, что АМ = АК.
2. Расчет длины хорды МК: Так как А — середина хорды МК, то МК = 2 * АМ. Поскольку АМ = 3 см, то МК = 2 * 3 см = 6 см.
3. Рассмотрение треугольника РКА: Треугольник РКА вписан в окружность. Угол РКА — это вписанный угол, который опирается на дугу РА.
4. Свойство диаметра: Диаметр делит окружность пополам.
5. Использование угла 60°: Угол РКА равен 60°.
6. Поиск длины хорды РК: В прямоугольном треугольнике РАК (если А — точка на окружности, то угол РАК = 90 градусов, но это не дано), мы знаем угол РКА=60. Так как А - середина хорды МК, то отрезок РА является гипотенузой для треугольника РАК, если угол РАК = 90. Диаметр РЕ перпендикулярен хорде МК, значит, треугольник РАК является прямоугольным, где угол РАК = 90 градусов.
7. Тригонометрия в прямоугольном треугольнике: В прямоугольном треугольнике РАК: $<!CDATA[ \(\frac{AK}{RK}\) = \(\text{cos}\)\(60^\text{o}\) ]>$.
8. Расчет АК: Так как А — середина хорды МК, то АК = АМ = 3 см.
9. Вычисление РК: Подставляем известные значения: $<!CDATA[ \(\frac\){3 \(\text{ см}\)}{RK} = \(\frac{1}{2}\) ]>$.
10. Решение для РК: RK = 3 см * 2 = 6 см.

Краткое пояснение: Поскольку диаметр РЕ пересекает хорду МК в её середине, он перпендикулярен ей. Это создает прямоугольный треугольник РАК. Зная, что АК = 3 см (половина хорды) и $<!CDATA[ \(\text{cos}\)\(60^\text{o}\) = \(\frac{1}{2}\) ]>$, мы можем найти гипотенузу РК.

Ответ: 6 см