83. Докажите, что значение выражения является рациональным числом: а) $\sqrt{(7-4\sqrt3)^2}-\sqrt{(4-2\sqrt3)^2}$; б) $\sqrt{(37+12\sqrt7)^2}+\sqrt{(37-12\sqrt7)^2}$.

Question

83. Докажите, что значение выражения является рациональным числом: а) $\sqrt{(7-4\sqrt3)^2}-\sqrt{(4-2\sqrt3)^2}$; б) $\sqrt{(37+12\sqrt7)^2}+\sqrt{(37-12\sqrt7)^2}$.

$Фото задания: 83. Докажите, что значение выражения является рациональным числом: а) $\sqrt{(7-4\sqrt3)^2}-\sqrt{(4-2\sqrt3)^2}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Используем правило $\sqrt{x^2}=|x|$.

Так как $7-4\sqrt3>0$ и $4-2\sqrt3>0$, получаем:

\[\sqrt{(7-4\sqrt3)^2}-\sqrt{(4-2\sqrt3)^2}=(7-4\sqrt3)-(4-2\sqrt3)=3-2\sqrt3.\]

Число $3-2\sqrt3$ является иррациональным, поэтому в пункте а) в условии, вероятно, допущена опечатка: приведённое выражение не является рациональным.

б) Так как $37>12\sqrt7$, оба выражения под модулями положительны:

\[\sqrt{(37+12\sqrt7)^2}=37+12\sqrt7,\]

\[\sqrt{(37-12\sqrt7)^2}=37-12\sqrt7.\]

Следовательно,

\[(37+12\sqrt7)+(37-12\sqrt7)=74.\]

Ответ: а) $3-2\sqrt3$ — иррациональное число, поэтому условие пункта, вероятно, содержит опечатку; б) $74$.

83. Докажите, что значение выражения является рациональным числом: а) \(\sqrt{(7-4\sqrt3)^2}-\sqrt{(4-2\sqrt3)^2}\); б) \(\sqrt{(37+12\sqrt7)^2}+\sqrt{(37-12\sqrt7)^2}\).

Ответ: