83. Параллельные плоскости α и β пересекают сторону AB угла BAC соответственно в точках A₁ и A₂, а сторону AC этого угла — соответственно в точках B₁ и B₂. Найдите: а) AA₂ и AB₂, если A₁A₂ = 2AA₁ = 12 см, AB₁ = 5 см; б) A₂B₂ и AA₂, если A₁B₁ = 18 см, AA₁ = 24 см, AA₂ = 3/2 A₁A₂.

Так как плоскости α и β параллельны, то отрезки A₁B₁ и A₂B₂ параллельны. Поэтому треугольники AA₁B₁ и AA₂B₂ подобны.

а)

1. Из условия: \(2AA_1=12\) см, поэтому \(AA_1=6\) см.
2. Тогда \(AA_2=AA_1+A_1A_2=6+12=18\) см.
3. Коэффициент подобия треугольников равен \(\dfrac{AA_2}{AA_1}=\dfrac{18}{6}=3\).
4. Следовательно, \(AB_2=AB_1\cdot 3=5\cdot3=15\) см.

б)

1. Обозначим \(A_2A=x\). Тогда \(A_1A_2=x-24\).
2. По условию: \(x=\dfrac{3}{2}(x-24)\).
3. Решаем уравнение: \(2x=3x-72\), откуда \(x=72\) см.
4. Значит, \(AA_2=72\) см.
5. Коэффициент подобия равен \(\dfrac{AA_2}{AA_1}=\dfrac{72}{24}=3\).
6. Следовательно, \(A_2B_2=A_1B_1\cdot3=18\cdot3=54\) см.

Ответ: а) \(AA_2=18\) см, \(AB_2=15\) см; б) \(A_2B_2=54\) см, \(AA_2=72\) см.