Ответ:
1) Песок блестит на солнце тёплым жёлтым блеском, и на его бархате прозрачные здания подобны тонким вышивкам из белого шёлка.
Грамматические основы: песок блестит; здания подобны. Союз и — соединительный, значение одновременности.
Схема: [П — =], и [— =].
2) Тёплый ветер гуляет по траве, где гнёт деревья и поднимает пыль.
В данном предложении части связаны не сочинительным, а подчинительным союзным словом где. Грамматические основы: ветер гуляет; (ветер) гнёт и поднимает. Это сложноподчинённое предложение, придаточная часть имеет значение места.
Схема: [— =], (где — = и =).
3) О, Север-чародей, иль я тобою околдован, иль в самом деле я прикован к гранитной полосе твоей?
Грамматические основы: я околдован; я прикован. Союзы иль... иль — разделительные, выражают чередование или выбор.
4) Уже давно расцвело, а лампа всё горела.
Грамматические основы: расцвело; лампа горела. Союз а — противительный, выражает противопоставление.
Схема: [=], а [— =].
5) Была зима, но все последние дни стояла оттепель.
Грамматические основы: зима была; оттепель стояла. Союз но — противительный, выражает противопоставление.
6) Огонь в лампе дрогнул, потускнел, но через минуту снова разгорелся.
Грамматические основы: огонь дрогнул, потускнел; огонь разгорелся. Союз но — противительный. Запятая перед союзом ставится между частями сложного предложения.
7) То ветер подует и тронет верхушки, то лягушки зашелестят в прошлогодней траве, то за стеной часы пробьют четверть.
Союзы то... то... то — разделительные, выражают чередование явлений.
8) Только иволги кричат, да кукушки наперебой отсчитывают кому-то непрожитые годы.
Союз да употреблён в значении и; он соединительный. Слово наперебой пишется слитно. Непрожитые пишется слитно, так как слово обозначает неполноту действия и не имеет противопоставления.
9) Веселее и громче всех смеялся сам студент, он же скорее всех и перестал.
Это бессоюзное сложное предложение. Грамматические основы: студент смеялся; он перестал. Между частями ставится запятая.
10) В короткие зимние дни здесь рано спускается сумрак, зато в начале лета неделями длятся белые ночи.
Союз зато — противительный, выражает противопоставление.
11) Мыло серо, зато моет бело.
Грамматические основы: мыло серо; (мыло) моет. Союз зато — противительный, выражает противопоставление.
Схема: [— =], зато [— =].
12) На улице моей то дождь проплещет...
Грамматическая основа: дождь проплещет. В приведённом на фотографии фрагменте вторая часть конструкции обрезана; поэтому полностью определить союзную связь невозможно.
13) Конец мая, а в поле ещё прохладно.
Грамматические основы: конец мая; прохладно. Союз а — противительный, выражает противопоставление.
14) Ворох листьев веселей разгорается, и трещит и пылает костёр.
Грамматические основы: ворох разгорается; костёр трещит и пылает. Союз и — соединительный. Запятая ставится между частями сложного предложения.
Ответ: в предложениях использованы соединительные, противительные и разделительные союзы; их значения указаны в разборе каждого предложения.
