83. Прямоугольник разбили на четыре части: квадрат и три прямоугольника (рис. 1.7). Известны периметры трёх из четырёх получившихся частей: 8 см, 14 см и 12 см. Найдите периметр четвёртой части и всего прямоугольника.

Обозначим ширину левой части через x, ширину правой — через y, высоту верхней части — через u, нижней — через v. Периметры трёх частей дают:

2(x + u) = 8, значит x + u = 4.

2(y + u) = 14, значит y + u = 7.

2(x + v) = 12, значит x + v = 6.

Для нижней правой части периметр равен 2(y + v). Складываем два последних выражения для размеров и вычитаем первое: y + v = (y + u) + (x + v) − (x + u) = 7 + 6 − 4 = 9. Значит, периметр четвёртой части равен 2 · 9 = 18 см.

Периметр всего прямоугольника равен удвоенной сумме его ширины и высоты. Сумма периметров четырёх частей вдвое больше периметра всего прямоугольника: внутренние стороны разделения учитываются дважды. Поэтому периметр большого прямоугольника равен (8 + 14 + 12 + 18) : 2 = 26 см.

Ответ: периметр четвёртой части — 18 см, всего прямоугольника — 26 см.