83. Точка M лежит на стороне BC параллелограмма ABCD, причём BM : MC = 3 : 1. Выразите векторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{MD}\) через векторы \(\vec a = \overrightarrow{AD}\) и \(\vec b = \overrightarrow{AB}\).

Так как в параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec a\), а точка M делит BC в отношении 3:1, то \(\overrightarrow{BM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}=\frac{3}{4}\vec a\).

1. По правилу сложения векторов: \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\vec b+\frac{3}{4}\vec a\).
2. \(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}\). Здесь \(\overrightarrow{MB}=-\frac{3}{4}\vec a\), а \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\vec a-\vec b\). Поэтому \(\overrightarrow{MD}=-\frac{3}{4}\vec a+\vec a-\vec b=\frac{1}{4}\vec a-\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{AM}=\vec b+\frac{3}{4}\vec a\), \(\overrightarrow{MD}=\frac{1}{4}\vec a-\vec b\).