830. Докажите неравенство a² + 5 > 2a.

Решение:

Чтобы доказать неравенство, перенесём все члены в одну сторону и посмотрим, что получится:

$$a^2 + 5 - 2a > 0$$

Переставим слагаемые, чтобы увидеть знакомую формулу:

$$a^2 - 2a + 5 > 0$$

Теперь выделим полный квадрат. Мы знаем, что \( (a-1)^2 = a^2 - 2a + 1 \). Используем это:

$$a^2 - 2a + 1 + 4 > 0$$

Заменим \( a^2 - 2a + 1 \) на \( (a-1)^2 \):

$$(a-1)^2 + 4 > 0$$

Теперь проанализируем полученное выражение:

• Квадрат любого действительного числа \( (a-1)^2 \) всегда больше или равен нулю. То есть \( (a-1)^2 \ge 0 \).
• Если к неотрицательному числу прибавить 4, результат всегда будет больше нуля.

Следовательно, \( (a-1)^2 + 4 > 0 \) верно для любого действительного значения a.

Ответ: Неравенство доказано.