832. Докажите неравенство: а) \((3x-1)(2x-2)>x(6x-8)\); б) \((3b-4)(2b+8)<(6b-2)(b+3)\); в) \(3a(a-1)-5a^2<4-3a\); г) \((2c-6)(c-1)>c(c-8)\).

а)

Раскроем скобки:

\((3x-1)(2x-2)=6x^2-8x+2\), а \(x(6x-8)=6x^2-8x\).

Поэтому исходное неравенство равносильно: \(6x^2-8x+2>6x^2-8x\), то есть \(2>0\). Это верно.

б)

\((3b-4)(2b+8)=6b^2+16b-32\),

\((6b-2)(b+3)=6b^2+16b-6\).

Тогда получаем: \(6b^2+16b-32<6b^2+16b-6\), то есть \(-32<-6\). Это верно.

в)

\(3a(a-1)-5a^2=3a^2-3a-5a^2=-2a^2-3a\).

Следовательно, \(-2a^2-3a<4-3a\), откуда \(-2a^2<4\).

Так как \(a^2\geqslant0\), то \(-2a^2\leqslant0<4\). Неравенство доказано.

г)

\((2c-6)(c-1)=2c^2-8c+6\), а \(c(c-8)=c^2-8c\).

Получаем: \(2c^2-8c+6>c^2-8c\), то есть \(c^2+6>0\).

Так как \(c^2\geqslant0\), то \(c^2+6>0\). Неравенство доказано.

Ответ: все четыре неравенства верны при любых значениях переменных.