832. Покажите неравенство: а) (3x − 1)(2x − 2) > x(6x − 8); б) (3b − 4)(2b + 8) < (6b − 2)(b + 3); в) 3a(a − 1) − 5a² < 4 − 3a; г) (2c − 6)(c − 1) > c(c − 8).

а)

Раскроем скобки:

\((3x-1)(2x-2)=6x^2-8x+2\), \(x(6x-8)=6x^2-8x\).

Так как \(6x^2-8x+2>6x^2-8x\), получаем верное неравенство, поскольку \(2>0\).

б)

Раскроем скобки:

\((3b-4)(2b+8)=6b^2+16b-32\), \((6b-2)(b+3)=6b^2+16b-6\).

Так как \(-32<-6\), то \(6b^2+16b-32<6b^2+16b-6\). Неравенство верно.

в)

Упростим левую часть:

\(3a(a-1)-5a^2=3a^2-3a-5a^2=-2a^2-3a\).

Тогда необходимо показать:

\(-2a^2-3a<4-3a\).

После вычитания \(-3a\) из обеих частей:

\(-2a^2<4\).

Поскольку \(a^2\geqslant0\), то \(-2a^2\leqslant0<4\). Неравенство верно.

г)

Раскроем скобки:

\((2c-6)(c-1)=2c^2-8c+6\), \(c(c-8)=c^2-8c\).

Разность левой и правой частей равна:

\((2c^2-8c+6)-(c^2-8c)=c^2+6\).

Так как \(c^2+6>0\) при любом действительном \(c\), получаем \((2c-6)(c-1)>c(c-8)\).

Ответ: все четыре неравенства верны при любых действительных значениях переменных.