835. Докажите неравенство: а) $x^2-x+8>0$; б) $4a^2+4ab+3b^2\ge0$; в) $4y^2>4y-12$; г) $9x^2\ge6xy-7y^2$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 835. Докажите неравенство: а) $x^2-x+8>0$; б) $4a^2+4ab+3b^2\ge0$; в) $4y^2>4y-12$; г) $9x^2\ge6xy-7y^2$.$ Фото задания

Accepted Answer

Выделим полный квадрат:
$x^2-x+8=\left(x-\frac12\right)^2+\frac{31}{4}>0$, поскольку квадрат неотрицателен, а $\frac{31}{4}>0$.
Представим выражение как сумму квадратов:
$4a^2+4ab+3b^2=(2a+b)^2+2b^2\ge0$.
Перенесём всё в левую часть и выделим квадрат:
$4y^2-4y+12=4\left(y-\frac12\right)^2+11>0$.
Следовательно, $4y^2>4y-12$.
Перенесём всё в левую часть:
$9x^2-6xy+7y^2=(3x-y)^2+6y^2\ge0$.
Значит, $9x^2\ge6xy-7y^2$.

835. Докажите неравенство: а) \(x^2-x+8>0\); б) \(4a^2+4ab+3b^2\ge0\); в) \(4y^2>4y-12\); г) \(9x^2\ge6xy-7y^2\).