84. Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки $B_1$, $D_1$ и середину ребра $CD$. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Question

Вопрос: $Фото задания: 84. Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки $B_1$,…$ Фото задания

84. Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки $B_1$, $D_1$ и середину ребра $CD$. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Accepted Answer

Обозначим через $M$ середину ребра $CD$. Возьмём параллелепипед с координатами $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$; тогда $C(1,1,0)$, а верхние вершины имеют третью координату 1.

Плоскость через $B_1(1,0,1)$, $D_1(0,1,1)$ и $M( frac12,1,0)$ задаётся уравнением $x+y+ frac12z=2$. Она пересекает ребро $CD$ в $M$, ребро $CC_1$ в точке $N=(1,1,0)$ — то есть в вершине $C$, и ребро $BB_1$ в точке $P=(1,0,1)$ — вершине $B_1$; кроме того, проходит через $D_1$. Следовательно, сечение — четырёхугольник $B_1D_1MC$ (порядок обхода можно записать как $B_1D_1MC$).

Поскольку $B_1D_1\parallel BD$, а $M,C$ принадлежат ребру $CD$, это не даёт пару параллельных противоположных сторон. Проверим корректные пересечения: плоскость пересекает также ребро $AA_1$ при $y=0,x=0$, но уравнение даёт $z=4$, вне ребра; и ребро $AD$ при $z=0,x=0$ даёт $y=2$, вне ребра. На гранях сечение имеет вершины $B_1,D_1,M$, а четвёртая точка — вершина $C$. Отрезок $B_1D_1$ параллелен $BC$, а $MC\subset CD$, поэтому указанные стороны также не параллельны.

Из координат видно, что в условии, как оно распознано, заявленное свойство «трапеция» не согласуется с сечением: плоскость через заданные точки пересекает поверхность по треугольнику $B_1D_1M$, поскольку точка $C$ не лежит в этой плоскости. Действительно, при $C(1,1,0)$ левая часть уравнения равна 2, но для $M( frac12,1,0)$ она равна $ frac32$; значит, уравнение плоскости выше было вычислено неверно. Пересчёт по трём точкам даёт $x+y+z=2$. Она пересекает рёбра в точках $B_1,D_1$, середине $CC_1$, середине $AA_1$, а также проходит через $C$? Нет: $C(1,1,0)$ удовлетворяет уравнению, однако заданная середина $CD$ имеет координаты $( frac12,1,0)$, не удовлетворяет. Поэтому исправная плоскость имеет уравнение $x+y+ frac12 z= frac32$. Она содержит $B_1,D_1,M$. Её пересечения: ребро $BC$ — при $x=1,z=0$ получаем $y= frac12$; обозначим эту точку $Q$, середину $BC$; ребро $CD$ — точка $M$. Также пересечение верхней грани — отрезок $B_1D_1$. Итак, сечение — пятиугольник $B_1D_1MQ$ плюс? Геометрически нужно уточнить: по граням сечение замыкается последовательностью $B_1-D_1-M-Q-B_1$, следовательно это четырёхугольник.

В нём $B_1D_1\parallel MQ$: диагональ верхней грани параллельна диагонали основания $BD$, но $MQ$ соединяет середины $CD$ и $BC$, поэтому в треугольнике $BCD$ это средняя линия, параллельная $BD$. Значит, сечение является трапецией.

Ответ: сечение — трапеция $B_1D_1MQ$, где $M$ и $Q$ — середины рёбер $CD$ и $BC$; основания $B_1D_1$ и $MQ$ параллельны.