84. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки B₁, D₁ и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Обозначим через M середину ребра CD. Проведём через точки B₁ и D₁ прямую. Она является частью искомого сечения верхней грани параллелепипеда.

Плоскость сечения пересекает грань BC C₁B₁ по отрезку B₁N, где N — точка пересечения этой плоскости с ребром BC. Так как плоскость проходит через середину ребра CD, из параллельности рёбер основания следует, что N — середина ребра BC.

Следовательно, сечение представляет собой четырёхугольник B₁D₁MN.

Докажем, что это трапеция. В основании параллелепипеда ABCD имеем BC ∥ AD. Точки N и M — середины соответственно рёбер BC и CD. В треугольнике BCD отрезок, соединяющий середины двух его сторон, параллелен третьей стороне, поэтому MN ∥ BD.

Кроме того, верхняя и нижняя грани параллелепипеда параллельны, поэтому диагонали соответствующих граней параллельны: B₁D₁ ∥ BD. Значит, B₁D₁ ∥ MN.

Четырёхугольник B₁D₁MN имеет одну пару противоположных параллельных сторон, следовательно, построенное сечение является трапецией.

Ответ: сечение — трапеция B₁D₁MN, где M и N — середины рёбер CD и BC соответственно; B₁D₁ ∥ MN.