85. Изобразите параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и постройте его сечение плоскостью \(BKL\), где точка \(K\) — середина ребра \(AA_1\), а точка \(L\) — середина ребра \(CC_1\). Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

Зададим параллелепипед координатами: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(D(0,1,0)\), \(A_1(0,0,1)\). Тогда \(C(1,1,0)\), \(K(0,0, frac12)\), \(L(1,1, frac12)\).

Плоскость через \(B,K,L\) имеет уравнение \(x-y+2z=1\). На грани \(ABB_1A_1\) она пересекает рёбра в \(B\) и \(K\). На грани \(DCC_1D_1\) — в \(L\) и точке \(T=(0,1,0)=D\). Поэтому сечение — четырёхугольник \(BKLD\).

Докажем параллельность противоположных сторон. Векторы \(\overrightarrow{BK}=(-1,0, frac12)\) и \(\overrightarrow{DL}=(1,0, frac12)\) не параллельны, а значит заявленный вывод требует проверки. Кроме того, фактическое пересечение плоскости с ребром \(DD_1\) даёт \(2z=2\), то есть \(z=1\), точку \(D_1\), а не \(D\). Следовательно, сечение — \(B K L D_1\). Тогда \(\overrightarrow{BK}=(-1,0, frac12)\), \(\overrightarrow{D_1L}=(1,0,- frac12)\), они параллельны; и \(\overrightarrow{KL}=(1,1,0)\), \(\overrightarrow{BD_1}=(-1,1,1)\) — не параллельны. Пересчитаем: уравнение плоскости из точек B,K,L следует из нормали \((1,-1,2)\): при B даёт 1, K даёт 1, L даёт 1, значит верно. Пересечение грани x=0: \(-y+2z=1\), на ребре DD₁ (y=1) получаем z=1, D₁; на AD (z=0) нет. Пересечение грани z=1: x-y= -1, отрезок от A₁? x=0,y=1 даёт D₁, x=1,y=0 даёт B₁; следовательно есть B₁. Полное сечение проходит через B, K, L, D₁, B₁? Соседство по граням даёт пятиугольник. Из имеющихся данных противоречит утверждению о параллелограмме, если выбран единичный куб. В общем параллелепипеде указанное сечение не может гарантированно быть параллелограммом; вероятно, в условии или обозначении точек есть ошибка. Нужен снимок страницы целиком или уточнение формулировки для однозначного исправления.

Ответ: по прочитанному условию утверждение о параллелограмме не подтверждается; требуется уточнить условие или чертёж.