850. Представьте трёхчлен в виде произведения двух одинаковых множителей:

Решение:

Представить трёхчлен в виде произведения двух одинаковых множителей означает представить его в виде квадрата двучлена \( (a+b)^2 \) или \( (a-b)^2 \).

1. \( 4x^2 + 12x + 9 \) — это квадрат суммы \( (2x+3)^2 \), так как \( (2x)^2 = 4x^2 \), \( 3^2 = 9 \) и \( 2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x \).
2. \( 25b^2 + 10b + 1 \) — это квадрат суммы \( (5b+1)^2 \), так как \( (5b)^2 = 25b^2 \), \( 1^2 = 1 \) и \( 2 \cdot 5b \cdot 1 = 10b \).
3. \( 9x^2 - 24xy + 16y^2 \) — это квадрат разности \( (3x-4y)^2 \), так как \( (3x)^2 = 9x^2 \), \( (4y)^2 = 16y^2 \) и \( -2 \cdot 3x \cdot 4y = -24xy \).
4. \( \frac{1}{4}m^2 + 4n^2 - 2mn \) — перепишем в виде \( \frac{1}{4}m^2 - 2mn + 4n^2 \). Это квадрат разности \( (\frac{1}{2}m-2n)^2 \), так как \( (\frac{1}{2}m)^2 = \frac{1}{4}m^2 \), \( (2n)^2 = 4n^2 \) и \( -2 \cdot \frac{1}{2}m \cdot 2n = -2mn \).
5. \( 10xy + 0.25x^2 + 100y^2 \) — перепишем в виде \( 0.25x^2 + 10xy + 100y^2 \). Это квадрат суммы \( (0.5x+10y)^2 \), так как \( (0.5x)^2 = 0.25x^2 \), \( (10y)^2 = 100y^2 \) и \( 2 \cdot 0.5x \cdot 10y = 10xy \).
6. \( 9a^2 - ab + \frac{1}{36}b^2 \) — здесь \( 9a^2 = (3a)^2 \) и \( \frac{1}{36}b^2 = (\frac{1}{6}b)^2 \). Проверим удвоенное произведение: \( 2 \cdot 3a \cdot \frac{1}{6}b = 2 \cdot \frac{3}{6} ab = ab \). Поскольку в выражении стоит \( -ab \), то это квадрат разности \( (3a - \frac{1}{6}b)^2 \).

Ответ:

• a) \( (2x+3)^2 \)
• б) \( (5b+1)^2 \)
• в) \( (3x-4y)^2 \)
• г) \( (\frac{1}{2}m-2n)^2 \)
• д) \( (0.5x+10y)^2 \)
• е) \( (3a - \frac{1}{6}b)^2 \)