Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
853. Пусть sin α = 5/13 и α — угол II четверти. Найдите: a) sin 2α; 6) cos 2α; в) tg 2α.
Ответ:
853. Нахождение тригонометрических функций двойного угла
У нас дано: \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \) и \( \alpha \) — угол II четверти. Во II четверти синус положителен (что соответствует условию \( \sin \alpha = \frac{5}{13} > 0 \)), а косинус и тангенс отрицательны.
a) Найти \( \sin 2\alpha \)
Краткое пояснение: Используем формулу \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \). Для этого нам нужно найти \( \cos \alpha \).
- Шаг 1: Найдем \( \cos \alpha \) с помощью основного тригонометрического тождества: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
- Шаг 2: Подставим значение \( \sin \alpha \): \( (\frac{5}{13})^2 + \cos^2 \alpha = 1 \) \( \frac{25}{169} + \cos^2 \alpha = 1 \) \( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \).
- Шаг 3: Извлечем квадратный корень: \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13} \).
- Шаг 4: Учитывая, что \( \alpha \) — угол II четверти, \( \cos \alpha < 0 \), поэтому выбираем отрицательное значение: \( \cos \alpha = -\frac{12}{13} \).
- Шаг 5: Теперь найдем \( \sin 2\alpha \): \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot (-\frac{12}{13}) = \frac{10}{13} \cdot (-\frac{12}{13}) = -\frac{120}{169} \).
Ответ: \( \sin 2\alpha = -\frac{120}{169} \)
6) Найти \( \cos 2\alpha \)
Краткое пояснение: Используем одну из формул косинуса двойного угла, например, \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \), так как \( \sin \alpha \) уже известно.
- Шаг 1: Подставим значение \( \sin \alpha \): \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot (\frac{5}{13})^2 \) \( \cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{25}{169} \) \( \cos 2\alpha = 1 - \frac{50}{169} \) \( \cos 2\alpha = \frac{169 - 50}{169} = \frac{119}{169} \).
Ответ: \( \cos 2\alpha = \frac{119}{169} \)
в) Найти \( \mathrm{tg} 2\alpha \)
Краткое пояснение: Используем формулу \( \mathrm{tg} 2\alpha = \frac{2 \mathrm{tg} \alpha}{1 - \mathrm{tg}^2 \alpha} \). Для этого нам нужно сначала найти \( \mathrm{tg} \alpha \).
- Шаг 1: Найдем \( \mathrm{tg} \alpha \) по формуле \( \mathrm{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
- Шаг 2: Подставим известные значения \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \): \( \mathrm{tg} \alpha = \frac{5/13}{-12/13} = \frac{5}{13} \cdot (-\frac{13}{12}) = -\frac{5}{12} \).
- Шаг 3: Теперь найдем \( \mathrm{tg} 2\alpha \): \( \mathrm{tg} 2\alpha = \frac{2 \mathrm{tg} \alpha}{1 - \mathrm{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \cdot (-\frac{5}{12})}{1 - (-\frac{5}{12})^2} \).
- Шаг 4: Вычислим числитель и знаменатель: \( \mathrm{tg} 2\alpha = \frac{-\frac{10}{12}}{1 - \frac{25}{144}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{144 - 25}{144}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} \).
- Шаг 5: Выполним деление дробей: \( \mathrm{tg} 2\alpha = -\frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = -5 \cdot \frac{24}{119} = -\frac{120}{119} \).
Ответ: \( \mathrm{tg} 2\alpha = -\frac{120}{119} \)
