86 Докажите, что площадь описанного многоугольника половина произведения его периметра на радиус окружности.

Решение:

• Многоугольник: Пусть дан описанный многоугольник P с вершинами A₁, A₂, ..., A_n.
• Вписанная окружность: Окружность с центром O и радиусом r касается всех сторон многоугольника.
• Разбиение на треугольники: Многоугольник можно разбить на n треугольников с общей вершиной O и основаниями, равными сторонам многоугольника (a₁, a₂, ..., a_n).
• Площадь треугольника: Площадь каждого треугольника равна S_i = 1/2 * a_i * r, где a_i — длина стороны многоугольника, а r — высота (радиус вписанной окружности).
• Общая площадь: Общая площадь многоугольника S равна сумме площадей этих треугольников: S = S₁ + S₂ + ... + S_n = 1/2 * a₁ * r + 1/2 * a₂ * r + ... + 1/2 * a_n * r.
• Вынесение общего множителя: S = 1/2 * r * (a₁ + a₂ + ... + a_n).
• Периметр: Сумма длин всех сторон (a₁ + a₂ + ... + a_n) является периметром многоугольника P.
• Итоговая формула: Таким образом, S = 1/2 * P * r.

Ответ: Площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.