86. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ AC основания параллелепипеда и параллельной диагонали BD₁. Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы ABB₁ и CBB₁ прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник.

Обозначим через M середину ребра DD₁. Сечение — треугольник ACM.

Построение.

1. Проведём диагональ AC основания.
2. Отметим середину M ребра DD₁.
3. Соединим M с A и C. Полученный треугольник ACM — искомое сечение: в параллелограмме ABCD отрезок AC проходит через середину диагонали BD, а плоскость сечения направлена параллельно BD₁; поэтому на ребре DD₁ она пересекает его в середине.

Доказательство.

1. Поскольку углы ABB₁ и CBB₁ прямые, BB₁ перпендикулярно AB и CB. Эти пересекающиеся прямые лежат в плоскости основания, значит BB₁ перпендикулярно плоскости основания. Следовательно, DD₁ также перпендикулярно основанию.
2. В ромбе ABCD все стороны равны, поэтому AB = CD. Параллельные рёбра параллелепипеда равны, значит DD₁ = BB₁.
3. M — середина DD₁, поэтому DM = DD₁/2 = BB₁/2. Диагонали ромба делятся пополам, так что если O — точка пересечения AC и BD, то DO = BD/2.
4. В прямоугольных треугольниках DMO и BBO₁ не требуется вводить дополнительные точки: проще сравнить расстояния от M до A и C по горизонтальной и вертикальной составляющим. В основании проекции M — точка D, поэтому горизонтальные составляющие AM и CM равны соответственно AD и CD, которые равны в ромбе; вертикальные составляющие обе равны DM. Следовательно, по теореме Пифагора AM² = AD² + DM² и CM² = CD² + DM², откуда AM = CM.

Ответ: сечение — равнобедренный треугольник ACM, его равные стороны AM и CM.