№ 86. Найдите неопределённые интегралы. Вариант 1: 1) ∫(5 − x⁶ + 2/x⁴) dx; 2) ∫(2x − 3/x¹⁰ + 12x⁷) dx; 3) ∫(5x³ + 6x − 4) dx; 4) ∫(8x − 2)³ dx; 5) ∫6 dx/(7 − 9x)³; 6) ∫sin 5x dx. Вариант 2: 1) ∫(8 − x⁸ + 4/x⁵) dx; 2) ∫(6x − 8/x³ + 7x⁵) dx; 3) ∫(3x² + 5x − 1,7) dx; 4) ∫(10x − 11)⁴ dx; 5) ∫7 dx/(4 − 8x)⁵; 6) ∫cos 2x dx. Вариант 3: 1) ∫(13 − x + [дробь неразборчива]) dx; 2) ∫(2x − 6/x⁴ + 15x⁹) dx; 3) ∫(5x³ + 3x − 1,5) dx; 4) ∫(5x − 3)⁶ dx. Вариант 4: 1) ∫(13 − 2x³ + 4/x³) dx; 2) ∫(3x − 4/x⁷ + 5x⁴) dx; 3) ∫(3x² + 6x − 1,8) dx; 4) ∫(5x − 2)⁵ dx.

Используем линейность интеграла, правило степенной первообразной \(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) при \(n\ne-1\), а для составных функций — замену переменной.

Вариант 1

1. Интегрируем слагаемые отдельно: \(5x-\frac{x^7}{7}-\frac{2}{3x^3}+C\).
2. \(x^2+\frac{1}{3x^9}+\frac{3}{2}x^8+C\).
3. \(\frac{5}{4}x^4+3x^2-4x+C\).
4. Положим \(u=8x-2\), тогда \(du=8\,dx\): \(\frac{(8x-2)^4}{32}+C\).
5. Положим \(u=7-9x\), тогда \(du=-9\,dx\): \(\frac{1}{3(7-9x)^2}+C\).
6. По формуле интегрирования косинуса: \(-\frac{\cos 5x}{5}+C\).

Вариант 2

1. \(8x-\frac{x^9}{9}-\frac{1}{x^4}+C\).
2. \(3x^2+\frac{4}{x^2}+\frac{7}{6}x^6+C\).
3. \(x^3+\frac{5}{2}x^2-1{,}7x+C\).
4. Положим \(u=10x-11\), тогда \(du=10\,dx\): \(\frac{(10x-11)^5}{50}+C\).
5. Положим \(u=4-8x\), тогда \(du=-8\,dx\): \(\frac{7}{32(4-8x)^4}+C\).
6. \(\frac{\sin 2x}{2}+C\).

Вариант 3

1. В выражении после \(13-x+\) видна пустая дробь: её числитель и знаменатель не читаются. Поэтому этот интеграл определить нельзя; пришлите, пожалуйста, изображение этого фрагмента целиком.
2. \(x^2+\frac{2}{x^3}+\frac{3}{2}x^{10}+C\).
3. \(\frac{5}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2-1{,}5x+C\).
4. Положим \(u=5x-3\), тогда \(du=5\,dx\): \(\frac{(5x-3)^7}{35}+C\).

Вариант 4

1. \(13x-\frac{x^4}{2}-\frac{2}{x^2}+C\).
2. \(\frac{3}{2}x^2+\frac{2}{3x^6}+x^5+C\).
3. \(x^3+3x^2-1{,}8x+C\).
4. Положим \(u=5x-2\), тогда \(du=5\,dx\): \(\frac{(5x-2)^6}{30}+C\).