87. $\log_{\frac12}\log_8\frac{x^2-2x}{x-3}<0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 87. $\log_{\frac12}\log_8\frac{x^2-2x}{x-3}<0$.$ Фото задания

87. $\log_{\frac12}\log_8\frac{x^2-2x}{x-3}<0$.

Accepted Answer

Так как основание внешнего логарифма $\frac12$ меньше 1, неравенство $\log_{\frac12}y<0$ равносильно $y>1$. Поэтому

$\log_8\frac{x^2-2x}{x-3}>1$.

Основание логарифма 8 больше 1, значит

$\frac{x^2-2x}{x-3}>8$.

Перенесём 8 в левую часть и разложим числитель на множители:

$\frac{x^2-10x+24}{x-3}>0$, то есть $\frac{(x-4)(x-6)}{x-3}>0$.

Критические точки: 3, 4 и 6. По знакам на промежутках получаем положительные значения на $(3,4)$ и $(6,+\infty)$. Эти значения также обеспечивают допустимость аргументов логарифмов.

Ответ: $x\in(3,4)\cup(6,+\infty)$.

87. \(\log_{\frac12}\log_8\frac{x^2-2x}{x-3}<0\).

Ответ: