87. Найдите угол A треугольника ABC, если: 1) AC = 2 см, BC = 1 см, ∠B = 135°; 2) AC = √2 см, BC = √3 см, ∠B = 45°. Сколько решений в каждом случае имеет задача? Ответ обоснуйте.

Обозначим стороны, лежащие напротив углов A и B: BC — напротив A, AC — напротив B. По теореме синусов sin A / BC = sin B / AC, поэтому sin A = (BC · sin B) / AC.

1. sin A = (1 · sin 135°) / 2 = √2 / 4. Однако в любом треугольнике сумма углов равна 180°, а ∠B = 135°, значит, 0° < A < 45°. На этом промежутке синус меньше sin 45° = √2 / 2, тогда как √2 / 4 < √2 / 2; это значение синуса задаёт единственный угол в данном промежутке. Но заданные стороны и угол B не образуют треугольник: сторона, противоположная тупому углу B, должна быть наибольшей, тогда как AC = 2 см больше BC = 1 см, но третья сторона должна удовлетворять условию существования. Проверим: по теореме косинусов для AC имеем AC² = AB² + BC² − 2 · AB · BC · cos 135°, откуда 4 = AB² + 1 + √2 · AB. Уравнение имеет положительный корень, поэтому треугольник существует. Следовательно, A = arcsin(√2 / 4), и решение одно.

2. sin A = (√3 · sin 45°) / √2 = √3 / 2. Отсюда возможны A = 60° или A = 120°. Но при B = 45° угол A = 120° невозможен, поскольку сумма двух углов уже превысила бы 180°. Значит, подходит только A = 60°; решение одно.

Ответ: 1) одно решение, ∠A = arcsin(√2 / 4) ≈ 20.7°; 2) одно решение, ∠A = 60°.