871. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB ∥ CD, ∠A = ∠C.

а) Рассмотрим треугольники \(\triangle BAC\) и \(\triangle ACD\).

1. По условию \(\angle BAC=\angle ACD\), а \(\angle BCA=\angle DAC\).
2. Сторона \(AC\) является общей для треугольников.
3. Следовательно, \(\triangle BAC\cong\triangle ACD\) по стороне и двум прилежащим к ней углам.
4. Из равенства соответствующих углов получаем \(\angle BCA=\angle CAD\). Это внутренние накрест лежащие углы при секущей \(AC\), поэтому \(BC\parallel AD\).
5. Аналогично из \(\angle BAC=\angle ACD\) следует \(AB\parallel CD\).

В четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны, значит, \(ABCD\) — параллелограмм.

б) По условию \(AB\parallel CD\). Прямая \(AD\) является секущей, поэтому сумма односторонних углов при ней равна \(180^\circ\): \(\angle A+\angle D=180^\circ\).

1. Так как \(\angle A=\angle C\), получаем \(\angle C+\angle D=180^\circ\).
2. Это односторонние углы при секущей \(CD\), следовательно, \(BC\parallel AD\).

Таким образом, \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\), следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

Ответ: а), б) — в обоих случаях ABCD является параллелограммом.