Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 878. Объём тетраэдра \(V=5\). Три его вершины находятся в точках \(A(2;1;-1)\), \(B(3;0;1)\), \(C(2;-1;3)\). Найти координаты…Фото задания

Ответ:

Так как точка \(D\) лежит на оси \(Oy\), её координаты имеют вид \(D(0;t;0)\).

  1. Составим векторы: \(\overrightarrow{AB}=(1;-1;2)\), \(\overrightarrow{AC}=(0;-2;4)\), \(\overrightarrow{AD}=(-2;t-1;1)\).
  2. Используем формулу объёма тетраэдра через смешанное произведение: \(V=\frac{1}{6}\left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]\right|\). Здесь \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0;-4;-2)\), поэтому смешанное произведение равно \((0;-4;-2)\cdot(-2;t-1;1)=-4t+2\).
  3. Подставим объём: \(\frac{|-4t+2|}{6}=5\), откуда \(|-4t+2|=30\). Следовательно, \(-4t+2=30\) или \(-4t+2=-30\), то есть \(t=-7\) или \(t=8\).

Ответ: \(D(0;-7;0)\) или \(D(0;8;0)\).