88. ABCD — ромб, ∠1 = ∠2. Найдите ∠D. На рисунке из вершины C проведены диагональ AC и отрезок к стороне AB, перпендикулярный AB; ∠1 — угол между BC и этим перпендикулярным отрезком, ∠2 — угол между этим отрезком и AC.

Обозначим через E точку пересечения перпендикулярного отрезка с AB. Тогда CE ⟂ AB и ∠BCE = ∠ECA.

Пусть каждый из этих равных углов равен α. Поскольку AB ∥ CD, угол между CE и CD также равен 90° − α. А диагональ AC ромба делит угол C пополам, поэтому ∠ACD = ∠BCA = α + α = 2α.

Следовательно, ∠BCD = ∠BCE + ∠ECD = α + (90° − α) + 2α? Угол ∠ECD состоит из ∠ECA и ∠ACD; применяя параллельность AB ∥ CD, получаем ∠ECD = 90° − α. Значит, ∠BCD = α + (90° − α) = 90°.

В ромбе соседние углы дополнительны, поэтому ∠D = 180° − ∠C = 90°.

Ответ: ∠D = 90°.