88. На рисунке 38 BC = AD, AM = CN, BM = DN. Найдите ∠ABM, если ∠CDN = 31°.

1. По рисунку точки A, M, N, C лежат на одной прямой в указанном порядке. Тогда \(MC = MN + NC\), а \(AN = AM + MN\). Так как \(AM = CN\), получаем \(MC = AN\).

2. В треугольниках BMC и DNA: \(BM = DN\), \(BC = AD\), \(MC = AN\). Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. Поэтому \(\angle BCM = \angle DAN\). С учётом расположения точек это означает, что \(\angle BCA = \angle DAC\).

3. В треугольниках BCA и DAC равны стороны \(BC = AD\), сторона \(CA\) общая, а углы между этими сторонами равны: \(\angle BCA = \angle DAC\). Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \(AB = CD\).

4. В треугольниках ABM и CDN равны три соответствующие стороны: \(AB = CD\), \(AM = CN\), \(BM = DN\). Следовательно, треугольники равны по трём сторонам, и \(\angle ABM = \angle CDN\).

5. Так как \(\angle CDN = 31°\), то \(\angle ABM = 31°\).

Ответ: \(31°\).