88. Параллельные прямые AC и BD пересекают плоскость α в точках A и B. Точки C и D лежат по одну сторону от плоскости α, AC = 8 см, BD = 6 см, AB = 4 см. а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость α в некоторой точке E. б) Найдите отрезок BE.

Рассмотрим плоскость, содержащую параллельные прямые AC и BD. Она пересекает плоскость α по прямой AB. Точки C и D находятся по одну сторону от α, но их расстояния до α вдоль параллельных прямых различны: AC = 8 см, BD = 6 см. Поэтому прямая CD не параллельна AB и пересекает её в точке E. Следовательно, E принадлежит плоскости α, то есть прямая CD пересекает α.

Так как AC ∥ BD, а точки A, E, B лежат на одной прямой и C, E, D — на другой, треугольники EAC и EBD подобны. Поскольку AC > BD, точка E лежит за точкой B, поэтому AE = AB + BE.

Из подобия:

\(\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\).

Пусть \(BE=x\). Тогда \(AE=4+x\), и

\(\dfrac{4+x}{x}=\dfrac{4}{3}\),
\(3(4+x)=4x\),
\(12+3x=4x\),
\(x=12\).

Ответ: BE = 12 см.