88. Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √7/4.

Пусть A = (0, 0), сторона AC направлена вдоль оси x. Тогда M = (24, 0), N = (42, 0), а cos∠BAC = √7/4 и sin∠BAC = 3/4.

1. Запишем уравнение окружности в виде x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Её пересечения с AC имеют координаты x = 24 и x = 42, поэтому D = −66 и F = 1008.
2. Центр окружности имеет координаты (33, −t), где t = −E/2, а радиус удовлетворяет R² = 81 + t².
3. Расстояние от центра до прямой AB равно |33 sin∠BAC + t cos∠BAC|. Условие касания даёт |99/4 + t√7/4| = √(81 + t²). После возведения в квадрат получаем t² − 22√7t − 945 = 0, откуда t = 11√7 ± 2√371.
4. Для касания именно луча AB точка касания должна лежать на луче: скалярная проекция центра на направление AB равна (33√7 − 3t)/4. Она неотрицательна только при t = 11√7 − 2√371.

Следовательно, радиус равен

R = √(81 + (11√7 − 2√371)²) ≈ 13.04.

Ответ: √(81 + (11√7 − 2√371)²) ≈ 13.04.