882 Представьте в виде произведения выражение: a) sin 15°+cos 65°; б) cos 40°-sin 16°; в) cos 50°+sin 80°; г) sin 40°-cos 40°.

Справочник формул:

• $$\( \cos x = \sin (90^{\circ} - x) \)$$
• $$\( \sin x = \cos (90^{\circ} - x) \)$$
• $$\( \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \)$$
• $$\( \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \)$$
• $$\( \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} \)$$
• $$\( \sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \)$$

Решение:

а) $$\sin 15^{\circ} + \cos 65^{\circ}$$

1. Заменим $$\cos 65^{\circ}$$ на $$\sin (90^{\circ} - 65^{\circ}) = \sin 25^{\circ}$$.
2. Выражение станет: $$\sin 15^{\circ} + \sin 25^{\circ}$$
3. Применим формулу суммы синусов: $$2 \sin \frac{15^{\circ}+25^{\circ}}{2} \cos \frac{15^{\circ}-25^{\circ}}{2}$$
4. Упрощаем: $$2 \sin \frac{40^{\circ}}{2} \cos \frac{-10^{\circ}}{2}$$
5. Получаем: $$2 \sin 20^{\circ} \cos (-5^{\circ})$$
6. Учитывая, что $$\cos(-x) = \cos x$$: $$2 \sin 20^{\circ} \cos 5^{\circ}$$

Ответ: $$2 \sin 20^{\circ} \cos 5^{\circ}$$

б) $$\cos 40^{\circ} - \sin 16^{\circ}$$

1. Заменим $$\sin 16^{\circ}$$ на $$\cos (90^{\circ} - 16^{\circ}) = \cos 74^{\circ}$$.
2. Выражение станет: $$\cos 40^{\circ} - \cos 74^{\circ}$$
3. Применим формулу разности косинусов: $$-2 \sin \frac{40^{\circ}+74^{\circ}}{2} \sin \frac{40^{\circ}-74^{\circ}}{2}$$
4. Упрощаем: $$-2 \sin \frac{114^{\circ}}{2} \sin \frac{-34^{\circ}}{2}$$
5. Получаем: $$-2 \sin 57^{\circ} \sin (-17^{\circ})$$
6. Учитывая, что $$\sin(-x) = -\sin x$$: $$-2 \sin 57^{\circ} (-\sin 17^{\circ})$$
7. Итого: $$2 \sin 57^{\circ} \sin 17^{\circ}$$

Ответ: $$2 \sin 57^{\circ} \sin 17^{\circ}$$

в) $$\cos 50^{\circ} + \sin 80^{\circ}$$

1. Заменим $$\sin 80^{\circ}$$ на $$\cos (90^{\circ} - 80^{\circ}) = \cos 10^{\circ}$$.
2. Выражение станет: $$\cos 50^{\circ} + \cos 10^{\circ}$$
3. Применим формулу суммы косинусов: $$2 \cos \frac{50^{\circ}+10^{\circ}}{2} \cos \frac{50^{\circ}-10^{\circ}}{2}$$
4. Упрощаем: $$2 \cos \frac{60^{\circ}}{2} \cos \frac{40^{\circ}}{2}$$
5. Получаем: $$2 \cos 30^{\circ} \cos 20^{\circ}$$
6. Так как $$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$: $$2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ}$$
7. Итого: $$\sqrt{3} \cos 20^{\circ}$$

Ответ: $$\sqrt{3} \cos 20^{\circ}$$

г) $$\sin 40^{\circ} - \cos 40^{\circ}$$

1. Заменим $$\cos 40^{\circ}$$ на $$\sin (90^{\circ} - 40^{\circ}) = \sin 50^{\circ}$$.
2. Выражение станет: $$\sin 40^{\circ} - \sin 50^{\circ}$$
3. Применим формулу разности синусов: $$2 \cos \frac{40^{\circ}+50^{\circ}}{2} \sin \frac{40^{\circ}-50^{\circ}}{2}$$
4. Упрощаем: $$2 \cos \frac{90^{\circ}}{2} \sin \frac{-10^{\circ}}{2}$$
5. Получаем: $$2 \cos 45^{\circ} \sin (-5^{\circ})$$
6. Так как $$\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ и $$\sin(-x) = -\sin x$$: $$2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} (-\sin 5^{\circ})$$
7. Итого: $$-\sqrt{2} \sin 5^{\circ}$$

Ответ: $$-\sqrt{2} \sin 5^{\circ}$$