882. Упростите выражение: a) (√15 + √10)・2√5-5√12; б) 2√70-2√28 / 3√35-3√14; в) (2√12 - 3√3)²; г) 10+5√3 / 10-5√3 + 10-5√3 / 10+5√3

Решение:

a)

1. Раскроем скобки и упростим:
• \[ (\sqrt{15} + \sqrt{10}) \cdot 2\sqrt{5} - 5\sqrt{12} = \sqrt{15} \cdot 2\sqrt{5} + \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5} - 5\sqrt{12} \]
• \[ = 2\sqrt{15 \cdot 5} + 2\sqrt{10 \cdot 5} - 5\sqrt{12} \]
• \[ = 2\sqrt{75} + 2\sqrt{50} - 5\sqrt{12} \]
• Упростим корни:
• \[ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \]
• \[ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \]
• \[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \]
• Подставим обратно:
• \[ = 2(5\sqrt{3}) + 2(5\sqrt{2}) - 5(2\sqrt{3}) \]
• \[ = 10\sqrt{3} + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{3} \]
• \[ = 10\sqrt{2} \]

б)

1. Вынесем общие множители из числителя и знаменателя:
• \[ \frac{2\sqrt{70} - 2\sqrt{28}}{3\sqrt{35} - 3\sqrt{14}} = \frac{2(\sqrt{70} - \sqrt{28})}{3(\sqrt{35} - \sqrt{14})} \]
• Упростим корни:
• \[ \sqrt{70} = \sqrt{4 \cdot 17.5} \text{ (не упрощается)} \]
• \[ \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \]
• \[ \sqrt{35} = \sqrt{5 \cdot 7} \text{ (не упрощается)} \]
• \[ \sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 7} \text{ (не упрощается)} \]
• Попробуем разложить подкоренные выражения:
• \[ \sqrt{70} = \sqrt{7 \cdot 10}, \quad \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \]
• \[ \sqrt{35} = \sqrt{5 \cdot 7}, \quad \sqrt{14} = \sqrt{2 \cdot 7} \]
• \[ \frac{2(\sqrt{7 \cdot 10} - 2\sqrt{7})}{3(\sqrt{5 \cdot 7} - \sqrt{2 \cdot 7})} = \frac{2\sqrt{7}(\sqrt{10} - 2)}{3\sqrt{7}(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{10} - 2)}{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})} \]
• Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя:
• \[ \frac{2(\sqrt{10} - 2)}{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})} \cdot \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{2((\sqrt{10} - 2)(\sqrt{5} + \sqrt{2}))}{3((\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2)} \]
• \[ = \frac{2(\sqrt{50} + \sqrt{20} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{2})}{3(5 - 2)} \]
• \[ = \frac{2(5\sqrt{2} + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{2})}{3(3)} \]
• \[ = \frac{2(3\sqrt{2})}{9} = \frac{6\sqrt{2}}{9} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

в)

1. Возведем в квадрат:
• \[ (2\sqrt{12} - 3\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{12})^2 - 2(2\sqrt{12})(3\sqrt{3}) + (3\sqrt{3})^2 \]
• \[ = 4 \cdot 12 - 12\sqrt{12 \cdot 3} + 9 \cdot 3 \]
• \[ = 48 - 12\sqrt{36} + 27 \]
• \[ = 48 - 12 \cdot 6 + 27 \]
• \[ = 48 - 72 + 27 \]
• \[ = 75 - 72 = 3 \]

г)

1. Приведем к общему знаменателю:
• \[ \frac{10+5\sqrt{3}}{10-5\sqrt{3}} + \frac{10-5\sqrt{3}}{10+5\sqrt{3}} = \frac{(10+5\sqrt{3})^2 + (10-5\sqrt{3})^2}{(10-5\sqrt{3})(10+5\sqrt{3})} \]
• Вычислим числитель:
• \[ (10+5\sqrt{3})^2 = 100 + 2(10)(5\sqrt{3}) + (5\sqrt{3})^2 = 100 + 100\sqrt{3} + 25 \cdot 3 = 100 + 100\sqrt{3} + 75 = 175 + 100\sqrt{3} \]
• \[ (10-5\sqrt{3})^2 = 100 - 2(10)(5\sqrt{3}) + (5\sqrt{3})^2 = 100 - 100\sqrt{3} + 75 = 175 - 100\sqrt{3} \]
• Сумма числителей:
• \[ (175 + 100\sqrt{3}) + (175 - 100\sqrt{3}) = 350 \]
• Вычислим знаменатель:
• \[ (10-5\sqrt{3})(10+5\sqrt{3}) = 10^2 - (5\sqrt{3})^2 = 100 - 25 \cdot 3 = 100 - 75 = 25 \]
• Подставим в дробь:
• \[ \frac{350}{25} = 14 \]