89. Постройте график функции и перечислите свойства этой функции, если: а) y = 0,25x² − 1,5x − 1,75; б) y = −0,5x² − 2x + 2.

а) Выделим квадрат двучлена: \(y=0.25(x^2-6x-7)=0.25(x-3)^2-4\). Значит, вершина параболы — \((3;-4)\), ось симметрии — \(x=3\), ветви направлены вверх. Нули: \(0.25(x-7)(x+1)=0\), поэтому \(x=-1\) и \(x=7\). Пересечение с осью \(Oy\): \((0;-1.75)\).

График функции а):

Область определения: все действительные числа. Область значений: \([-4; +\infty)\). Функция убывает на \((-;3]\) и возрастает на \([3;+)\). Наименьшее значение равно \(-4\) при \(x=3\); наибольшего значения нет. Функция положительна при \(x<-1\) и \(x>7\), отрицательна при \(-1<x<7\).

б) Выделим квадрат: \(y=-0.5(x+2)^2+4\). Вершина — \((-2;4)\), ось симметрии — \(x=-2\), ветви направлены вниз. Нули найдём из \((x+2)^2=8\): \(x=-2\pm2\sqrt2\). Пересечение с осью \(Oy\): \((0;2)\).

График функции б):

Область определения: все действительные числа. Область значений: \((-;4]\). Функция возрастает на \((-;-2]\) и убывает на \([-2;+)\). Наибольшее значение равно \(4\) при \(x=-2\); наименьшего значения нет. Функция положительна при \(-2-2\sqrt2<x<-2+2\sqrt2\), отрицательна вне этого промежутка.