89. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажите свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Пусть ABCD — трапеция, где AD и BC — основания, а E и F — середины боковых сторон AB и CD. Проведём диагональ AC и обозначим через M её середину.

1. В треугольнике ABC точки E и M — середины сторон AB и AC. По теореме о средней линии треугольника EM ∥ BC и EM = BC/2.
2. В треугольнике ADC точки M и F — середины сторон AC и CD. Поэтому MF ∥ AD и MF = AD/2.
3. Так как AD ∥ BC, прямые EM и MF проходят через M и параллельны одной и той же прямой. Значит, они совпадают, поэтому E, M и F лежат на одной прямой. Следовательно, EF ∥ AD и EF ∥ BC.
4. Точка M лежит между E и F, поэтому EF = EM + MF = BC/2 + AD/2 = (AD + BC)/2.

Ответ: средняя линия трапеции параллельна обоим основаниям и равна их полусумме.