89. В треугольнике ABC отрезок BD соединяет вершину B с точкой D, принадлежащей стороне AC. Докажите, что если AB = CB и BD является биссектрисой ∠ABC, то BD ⟂ AC.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD.

1. AB = CB по условию, BD — общая сторона.
2. Так как BD — биссектриса угла ABC, то ∠ABD = ∠DBC.
3. Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Значит, ∠ADB = ∠BDC. Точки A, D и C лежат на одной прямой, поэтому эти смежные углы в сумме составляют 180°. Равные смежные углы прямые.

Ответ: BD ⟂ AC.