№ 897. Пусть x — сторона второго квадрата, тогда сторона первого равна \(\frac{2}{3}x-10\). Найдите стороны квадратов, если сумма их площадей равна 1000.

По условию составим уравнение:

\[x^2+\left(\frac{2}{3}x-10\right)^2=1000.\]

Раскроем скобки:

\[x^2+\frac{4}{9}x^2-\frac{40}{3}x+100=1000,\]

\[13x^2-120x-8100=0.\]

Дискриминант:

\[D=(-120)^2-4\cdot13\cdot(-8100)=576000=\left(120\sqrt{40}\right)^2.\]

Корни уравнения:

\[x=\frac{120\pm\sqrt{576000}}{26}=\frac{60\pm30\sqrt{40}}{13}=\frac{30(2\pm\sqrt{10})}{13}.\]

Отрицательный корень не подходит, поэтому \(x=\frac{30(2+\sqrt{10})}{13}\). Тогда сторона первого квадрата:

\[\frac{2}{3}x-10=\frac{2}{3}\cdot\frac{30(2+\sqrt{10})}{13}-10=\frac{20(\sqrt{10}-3)}{13}.\]

Ответ: стороны квадратов равны \(\frac{20(\sqrt{10}-3)}{13}\) и \(\frac{30(2+\sqrt{10})}{13}\).