8k. 27k. (5k+1)^2 / 25k. 5. (2k-1)^2 . 3^3k . 2k

Решение:

Для упрощения выражения сначала представим основания степеней в виде простых множителей:

\( 8 = 2^3 \), \( 27 = 3^3 \), \( 25 = 5^2 \).

Подставим эти значения в исходное выражение:

\[ \frac{(2^3)^k \cdot (3^3)^k \cdot (5k+1)^2}{(5^2)^k \cdot 5 \cdot (2k-1)^2 \cdot 3^{3k} \cdot 2^k} \]\[ = \frac{2^{3k} \cdot 3^{3k} \cdot (5k+1)^2}{5^{2k} \cdot 5^1 \cdot (2k-1)^2 \cdot 3^{3k} \cdot 2^k} \]\[ = \frac{2^{3k} \cdot 3^{3k} \cdot (5k+1)^2}{5^{2k+1} \cdot (2k-1)^2 \cdot 3^{3k} \cdot 2^k} \]\[ = \frac{2^{3k-k} \cdot 3^{3k-3k} \cdot (5k+1)^2}{5^{2k+1} \cdot (2k-1)^2} \]\[ = \frac{2^{2k} \cdot 3^0 \cdot (5k+1)^2}{5^{2k+1} \cdot (2k-1)^2} \]\[ = \frac{2^{2k} \cdot (5k+1)^2}{5^{2k+1} \cdot (2k-1)^2} \]

Ответ: \( \frac{2^{2k} \cdot (5k+1)^2}{5^{2k+1} \cdot (2k-1)^2} \)