8 Тип 7 № 8026 i На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник АВС. Найдите сумму углов АВС и АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

На клетчатой бумаге треугольник ABC имеет следующие координаты вершин (предполагая, что одна из клеток - это начало координат):

• A: (1, 2)
• B: (4, 4)
• C: (2, 0)

Найдем векторы сторон:

• \(\vec{BA} = A - B = (1-4, 2-4) = (-3, -2)\)
• \(\vec{BC} = C - B = (2-4, 0-4) = (-2, -4)\)
• \(\vec{CA} = A - C = (1-2, 2-0) = (-1, 2)\)
• \(\vec{CB} = B - C = (4-2, 4-0) = (2, 4)\)

Найдем косинусы углов:

• \(\cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{(-3)(-2) + (-2)(-4)}{\sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2}} = \frac{6 + 8}{\sqrt{9+4} \sqrt{4+16}} = \frac{14}{\sqrt{13} \sqrt{20}} = \frac{14}{\sqrt{260}} \approx \frac{14}{16.12} \approx 0.8685\)
• \(\angle ABC = \arccos(0.8685) \approx 29.67^\circ\)
• \(\cos(\angle ACB) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| |\vec{CB}|} = \frac{(-1)(2) + (2)(4)}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + 4^2}} = \frac{-2 + 8}{\sqrt{1+4} \sqrt{4+16}} = \frac{6}{\sqrt{5} \sqrt{20}} = \frac{6}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0.6\)
• \(\angle ACB = \arccos(0.6) \approx 53.13^\circ\)

Сумма углов ABC и ACB:

\(\angle ABC + \angle ACB \approx 29.67^\circ + 53.13^\circ = 82.8^\circ\)

Примечание: Точное значение углов, рассчитанное по координатам, может отличаться от визуальной оценки. Проведем точный расчет.

Более простой способ: определим стороны как векторы и найдем углы.

A=(1,2), B=(4,4), C=(2,0)

\(\vec{AB} = (3, 2)\), \(\vec{AC} = (1, -2)\), \(\vec{BC} = (-2, -4)\)

\(\cos(\angle BAC) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{(3)(1) + (2)(-2)}{\sqrt{3^2+2^2} \sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{3-4}{\sqrt{13}\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{65}} \approx -0.124\)

\(\angle BAC \approx 97.13^\circ\)

\(\cos(\angle ABC) = \frac{(3)(-2) + (2)(-4)}{\sqrt{13}\sqrt{20}} = \frac{-6-8}{\sqrt{260}} = \frac{-14}{\sqrt{260}} \approx -0.8685\)

\(\angle ABC \approx 150.33^\circ\) - это не похоже на картинку, значит, я неправильно выбрал векторы или координаты.

Пересчитаем координаты, отталкиваясь от сетки:

A = (1,2)

B = (4,4)

C = (2,0)

\(\vec{BA} = (1-4, 2-4) = (-3, -2)\)

\(\vec{BC} = (2-4, 0-4) = (-2, -4)\)

\(\vec{CA} = (1-2, 2-0) = (-1, 2)\)

\(\vec{CB} = (4-2, 4-0) = (2, 4)\)

\(\vec{AB} = (3, 2)\)

\(\vec{AC} = (1, -2)\)

\(\angle ABC: \cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{(-3)(-2) + (-2)(-4)}{\sqrt{(-3)^2+(-2)^2} \sqrt{(-2)^2+(-4)^2}} = \frac{6+8}{\sqrt{13}\sqrt{20}} = \frac{14}{\sqrt{260}} \approx 0.8685 \implies \angle ABC \approx 29.67^\circ\)

\(\angle ACB: \cos(\angle ACB) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| |\vec{CB}|} = \frac{(-1)(2) + (2)(4)}{\sqrt{(-1)^2+2^2} \sqrt{2^2+4^2}} = \frac{-2+8}{\sqrt{5}\sqrt{20}} = \frac{6}{\sqrt{100}} = 0.6 \implies \angle ACB \approx 53.13^\circ\)

\(\angle BAC = 180^\circ - (29.67^\circ + 53.13^\circ) = 180^\circ - 82.8^\circ = 97.2^\circ\)

Проверим \(\angle BAC\) через векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\)

\(\vec{AB} = (3, 2)\), \(\vec{AC} = (1, -2)\)

\(\cos(\angle BAC) = \frac{(3)(1) + (2)(-2)}{\sqrt{3^2+2^2} \sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{3-4}{\sqrt{13}\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{65}} \approx -0.124\)

\(\angle BAC = \arccos(-0.124) \approx 97.12^\circ\)

Сумма углов ABC и ACB:

\(\angle ABC + \angle ACB \approx 29.67^\circ + 53.13^\circ = 82.8^\circ\)

Ответ: 82.8