8 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, отрезок AH — высота. Угол ВСА равен 25°. Найдите угол ВАН. Ответ дайте в градусах. A C H B Ответ:

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ AB = BC \]
• \[ AH \perp BC \]
• \[ \angle BCA = 25^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle BAH \]

Решение:

1. \[ \triangle ABC \] — равнобедренный, так как\[ AB = BC \].
2. \[ \angle BAC = \angle BCA = 25^{\circ} \] (углы при основании равнобедренного треугольника).
3. \[ AH \perp BC \], следовательно, \[ \triangle AHC \] — прямоугольный.
4. \[ \angle HAC = 90^{\circ} - \angle BCA = 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ} \]
5. \[ \angle BAH = \angle BAC - \angle HAC = 25^{\circ} - 65^{\circ} \] — это невозможно, так как угол не может быть отрицательным.
6. Ошибка в рассуждении: AH — высота, значит, она проведена к стороне BC. В равнобедренном треугольнике ABC с AB = BC, углы при основании AC равны. Здесь же дано, что AB=BC, значит, AC — основание, а углы при нем равны
   [\[ \angle BAC = \angle BCA = 25^{\circ} \]
7. В прямоугольном треугольнике AHC: [\[ \angle HAC = 90^{\circ} - \angle HCA = 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ} \]
8. Угол BAH является частью угла BAC.
   [\[ \angle BAH = \angle BAC - \angle HAC \]
9. Но поскольку AB=BC, то углы при основании AC равны: [\[ \angle BAC = \angle BCA = 25^{\circ} \]
10. В прямоугольном треугольнике AHC: [\[ \angle HAC = 90^{\circ} - \angle BCA = 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ} \]
11. Так как [\[ \angle BAC = 25^{\circ} \] и [\[ \angle HAC = 65^{\circ} \], то угол BAH можно найти как разность: [\[ \angle BAH = \angle HAC - \angle BAC = 65^{\circ} - 25^{\circ} = 40^{\circ} \]

Ответ: 40