9. (12 баллов) а) Решите уравнение \(\cos^4 x+\sin 2x=\sin^4 x\). б) Найдите наименьший положительный корень.

а) Перенесём степени в одну часть:

\[\cos^4x-\sin^4x+\sin2x=0.\]

Используем разность квадратов:

\[\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos2x.\]

Тогда

\[\cos2x+\sin2x=0.\]

Так как \(\sin t+\cos t=0\) при \(t=-\frac\pi4+\pi k\), получаем

\[2x=-\frac\pi4+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,\]

\[x=-\frac\pi8+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.\]

б) При \(k=1\): \(x=\frac{3\pi}{8}\), а при \(k=0\) значение отрицательное. Следовательно, наименьший положительный корень:

Ответ: \(x=-\frac\pi8+\frac{\pi k}{2}\), \(k\in\mathbb Z\); наименьший положительный корень \(\frac{3\pi}{8}\).