9. (2б) Постройте на координатной плоскости а) точки А, В, С, D, если A(0; 4), B(6; -2), C(7; 3); D(-3; -2). б) Определите координату точки пересечения прямых АВ и CD.

Решение:

а) Построение точек:

Для построения точек на координатной плоскости отложим указанные координаты.

• Точка A имеет координаты (0; 4): 0 по оси X (остаёмся на оси Y), 4 по оси Y (поднимаемся на 4 единицы вверх).
• Точка B имеет координаты (6; -2): 6 по оси X (вправо), -2 по оси Y (вниз).
• Точка C имеет координаты (7; 3): 7 по оси X (вправо), 3 по оси Y (вверх).
• Точка D имеет координаты (-3; -2): -3 по оси X (влево), -2 по оси Y (вниз).

б) Нахождение точки пересечения прямых AB и CD:

Сначала найдём уравнения прямых AB и CD.

1. Уравнение прямой AB:

Через точки A(0; 4) и B(6; -2).

Угловой коэффициент \( k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{6 - 0} = \frac{-6}{6} = -1 \).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \). Так как точка A(0; 4) лежит на оси Y, её координата Y является свободным членом \( b \). То есть \( b = 4 \).

Уравнение прямой AB: \( y = -1x + 4 \) или \( y = -x + 4 \).

2. Уравнение прямой CD:

Через точки C(7; 3) и D(-3; -2).

Угловой коэффициент \( k_{CD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 3}{-3 - 7} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2} \).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \). Подставим координаты точки C(7; 3):

\( 3 = \frac{1}{2} \cdot 7 + b \)

\( 3 = \frac{7}{2} + b \)

\( b = 3 - \frac{7}{2} = \frac{6}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{1}{2} \).

Уравнение прямой CD: \( y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \).

3. Нахождение точки пересечения:

Приравняем уравнения прямых AB и CD, так как в точке пересечения их координаты равны:

\( -x + 4 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \)

Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дробей:

\( -2x + 8 = x - 1 \)

Соберём члены с \( x \) в одной части, а числа — в другой:

\( 8 + 1 = x + 2x \)

\( 9 = 3x \)

\( x = \frac{9}{3} = 3 \).

Теперь найдём \( y \), подставив \( x = 3 \) в любое из уравнений. Возьмём уравнение прямой AB:

\( y = -x + 4 = -3 + 4 = 1 \).

Точка пересечения имеет координаты (3; 1).

Ответ: Координата точки пересечения прямых AB и CD равна (3; 1).