9. (3,5 б) Рівняння гармонічних коливань кульки на нитці має вигляд: х= 0,5sinnt (м). Визначте довжину маятника, максимальну швидкість коливань тягарця та прискорення кульки у фазі п/6.

Рівняння гармонічних коливань: \( x(t) = 0,5 \sin(\pi t) \text{ (м)} \)

З рівняння визначаємо:

• Амплітуда \( A = 0,5 \text{ м} \)
• Кутова частота \( \omega = \pi \text{ рад/с} \)

1. Довжина маятника (L):

Для математичного маятника кутова частота пов'язана з довжиною \( L \) формулою: \( \omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \), де \( g \) — прискорення вільного падіння (приймемо \( g \approx 9,8 \text{ м/с}^2 \) або \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \) для простоти).

Використовуємо \( g \approx 9,8 \text{ м/с}^2 \):

\[ \pi = \sqrt{\frac{9,8}{L}} \]
\[ \pi^2 = \frac{9,8}{L} \]
\[ L = \frac{9,8}{\pi^2} \approx \frac{9,8}{(3,14)^2} \approx \frac{9,8}{9,86} \approx 0,994 \text{ м} \]

Якщо прийняти \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \):

\[ L = \frac{10}{\pi^2} \approx \frac{10}{9,86} \approx 1,014 \text{ м} \]

2. Максимальна швидкість коливань (v_max):

Максимальна швидкість дорівнює добутку амплітуди на кутову частоту:

\[ v_{max} = A \omega = 0,5 \text{ м} \times \pi \text{ рад/с} = 0,5\pi \text{ м/с} \]

\( v_{max} \approx 0,5 \times 3,14 = 1,57 \text{ м/с} \)

3. Прискорення кульки у фазі π/6:

Рівняння прискорення отримується з рівняння положення шляхом двічі диференціювання за часом, або з використанням формули \( a(t) = -\omega^2 x(t) \), або \( a(t) = -\omega^2 A \sin(\omega t) \) (для даного рівняння).

Спочатку знайдемо кут фази \( \alpha = \omega t = \frac{\pi}{6} \).

Тоді прискорення \( a \) у цій фазі дорівнює:

\[ a = -\omega^2 A \sin(\alpha) \]
\[ a = -(\pi)^2 \times 0,5 \times \sin(\frac{\pi}{6}) \]

Знаємо, що \( \sin(\frac{\pi}{6}) = 0,5 \) і \( \pi^2 \approx 9,86 \) (або \( \pi^2 \approx 10 \) для спрощення).

Використовуючи \( \pi^2 \approx 9,86 \):

\[ a = -9,86 \times 0,5 \times 0,5 = -9,86 \times 0,25 = -2,465 \text{ м/с}^2 \]

Використовуючи \( \pi^2 \approx 10 \):

\[ a = -10 \times 0,5 \times 0,5 = -10 \times 0,25 = -2,5 \text{ м/с}^2 \]

Відповідь:

• Довжина маятника: \( L \approx 0,994 \text{ м} \) (або \( L \approx 1,014 \text{ м} \) при \( g = 10 \text{ м/с}^2 \)).
• Максимальна швидкість: \( v_{max} = 0,5\pi \text{ м/с} \approx 1,57 \text{ м/с} \).
• Прискорення кульки у фазі \( \frac{\pi}{6} \): \( a \approx -2,465 \text{ м/с}^2 \) (або \( a = -2,5 \text{ м/с}^2 \)).