9. (3 балла) Чтобы поступить в институт на специальность «Техническое обслуживание подвижного состава», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент 3. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что абитуриент 3. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей

Привет! Давай разберём эту задачку по теории вероятностей. Здесь у нас абитуриент, который хочет поступить в два разных вуза на разные специальности. Нам нужно посчитать вероятность того, что он поступит хотя бы в один из них.

1. Условия поступления:

• «Техническое обслуживание подвижного состава»: Нужно набрать не менее 70 баллов по 3 предметам: математика, русский язык, иностранный язык.
• «Коммерция»: Нужно набрать не менее 70 баллов по 3 предметам: математика, русский язык, обществознание.

2. Вероятности для абитуриента 3.:

• Математика (М): P(М) = 0,6
• Русский язык (Р): P(Р) = 0,8
• Иностранный язык (И): P(И) = 0,7
• Обществознание (О): P(О) = 0,5

3. Вероятность поступления на каждую специальность:

Будем считать, что результаты по каждому предмету — это независимые события.

Вероятность поступить на «Техническое обслуживание» (событие А):

Чтобы поступить, нужно получить >= 70 баллов по всем трём предметам. Значит, нужно умножить вероятности:

\[ P(A) = P(М) imes P(Р) imes P(И) \]

\[ P(A) = 0,6 imes 0,8 imes 0,7 = 0,48 imes 0,7 = 0,336 \]

Вероятность поступить на «Коммерцию» (событие B):

Аналогично, умножаем вероятности:

\[ P(B) = P(М) imes P(Р) imes P(О) \]

\[ P(B) = 0,6 imes 0,8 imes 0,5 = 0,48 imes 0,5 = 0,24 \]

4. Вероятность поступить хотя бы на одну специальность:

Нам нужна вероятность события «А или В». Формула для вероятности объединения двух событий:

\[ P(A ext{ или } B) = P(A) + P(B) - P(A ext{ и } B) \]

Теперь нам нужно найти вероятность того, что абитуриент поступит и туда, и туда (событие «А и В»). Это значит, что он должен получить >= 70 баллов по всем предметам, которые есть в обоих специальностях, а также по тем, которые уникальны для каждой. То есть, он должен получить >= 70 по математике, русскому, иностранному И обществознанию.

\[ P(A ext{ и } B) = P(М) imes P(Р) imes P(И) imes P(О) \]

\[ P(A ext{ и } B) = 0,6 imes 0,8 imes 0,7 imes 0,5 = 0,336 imes 0,5 = 0,168 \]

Теперь подставляем всё в формулу для «А или В»:

\[ P(A ext{ или } B) = 0,336 + 0,24 - 0,168 \]

\[ P(A ext{ или } B) = 0,576 - 0,168 = 0,408 \]

Или можно решить проще!

Событие «хотя бы на одну» — это противоположное событие к событию «не поступит никуда».

Сначала посчитаем вероятность того, что абитуриент НЕ поступит на «Техническое обслуживание» (событие НЕ А):

\[ P( ext{НЕ } A) = 1 - P(A) = 1 - 0,336 = 0,664 \]

Теперь посчитаем вероятность того, что абитуриент НЕ поступит на «Коммерцию» (событие НЕ В):

\[ P( ext{НЕ } B) = 1 - P(B) = 1 - 0,24 = 0,76 \]

Вероятность того, что абитуриент НЕ поступит ни на одну из специальностей (НЕ А и НЕ В), равна:

\[ P( ext{НЕ } A ext{ и НЕ } B) = P( ext{НЕ } А) imes P( ext{НЕ } В) \]

Здесь важно учесть, что это не совсем так, потому что предметы пересекаются. Правильнее считать через вероятность того, что он сдаст ВСЕ нужные предметы. А именно: математику, русский, иностранный и обществознание.

Вероятность того, что он НЕ сдаст математику: 1 - 0,6 = 0,4

Вероятность того, что он НЕ сдаст русский: 1 - 0,8 = 0,2

Вероятность того, что он НЕ сдаст иностранный: 1 - 0,7 = 0,3

Вероятность того, что он НЕ сдаст обществознание: 1 - 0,5 = 0,5

Чтобы НЕ поступить никуда, ему нужно НЕ сдать хотя бы один предмет из всех необходимых. То есть, ему нужно НЕ сдать математику ИЛИ НЕ русский ИЛИ НЕ иностранный ИЛИ НЕ обществознание. Это сложно посчитать напрямую.

Вернемся к первому способу, он более прямой.

Повторим первый способ:

1. Вероятность поступить на «Техническое обслуживание» (минимум 70 по матем, русскому, ин.яз.):

\[ P(A) = 0,6 imes 0,8 imes 0,7 = 0,336 \]

2. Вероятность поступить на «Коммерцию» (минимум 70 по матем, русскому, общ.):

\[ P(B) = 0,6 imes 0,8 imes 0,5 = 0,24 \]

3. Вероятность поступить и на «Техническое обслуживание» и на «Коммерцию» (минимум 70 по матем, русскому, ин.яз. И общ.):

Так как и на техническую, и на коммерцию нужны баллы по математике и русскому, то для поступления на обе специальности, нужно набрать >=70 по математике, русскому, иностранному ЯЗЫКУ и обществознанию.

\[ P(A ext{ и } B) = P(М) imes P(Р) imes P(И) imes P(О) = 0,6 imes 0,8 imes 0,7 imes 0,5 = 0,168 \]

4. Вероятность поступить хотя бы на одну из специальностей (формула включения-исключения):

\[ P(A ext{ или } B) = P(A) + P(B) - P(A ext{ и } B) \]

\[ P(A ext{ или } B) = 0,336 + 0,24 - 0,168 = 0,576 - 0,168 = 0,408 \]

Ответ: Вероятность того, что абитуриент 3. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей, равна 0,408.

Ответ: 0,408