9. (3 балла) На рисунке изображена правильная треугольная пирамида SABC. 1. Обозначьте на ней точки К, N, М – середины ребер SA, SB, AB соответственно. 2. Обозначьте т. F, которая делит ребро SC в отношении 1:3, считая от вершины S. 3. Соедините точки К, N, М прямыми NK, KF, NF, CM. 4. Из вершины пирамиды проведите перпендикуляр к плоскости АВС, который обозначьте SO. 5. Укажите прямую, параллельную плоскости АВС. Ответ обоснуйте. 6. Укажите прямые, скрещивающиеся с прямой АВ.

Решение:

1. Обозначение точек:

• К – середина ребра SA.
• N – середина ребра SB.
• M – середина ребра AB.

2. Обозначение точки F:

• Точка F делит ребро SC в отношении 1:3, считая от вершины S. Это значит, что SF : FC = 1 : 3.

3. Соединение точек:

• Проведены отрезки NK, KF, NF, CM.

4. Перпендикуляр к плоскости ABC:

• Из вершины пирамиды S к плоскости основания ABC проведен перпендикуляр SO, где O – центр основания (точка пересечения медиан равностороннего треугольника ABC).

5. Прямая, параллельная плоскости ABC:

• Прямая NK параллельна плоскости ABC.
• Обоснование: Так как K – середина SA, а N – середина SB, то отрезок NK является средней линией треугольника SAB. По свойству средней линии треугольника, NK параллельна AB. Поскольку AB лежит в плоскости ABC, то прямая NK параллельна плоскости ABC.

6. Прямые, скрещивающиеся с прямой AB:

• Прямые, скрещивающиеся с прямой AB, это прямые, которые не пересекаются с AB и не лежат с ней в одной плоскости.
• Такими прямыми являются:
• SC (или SF, FC)
• SB (или SN, NB)
• CM (так как CM не лежит в одной плоскости с AB и не пересекает AB)

Ответ:

• 5. Прямая NK параллельна плоскости ABC.
• 6. Прямые SC, SB, CM.