№9.7 Найти решение уравнения методом вариации произвольных постоянных. Решить задачу Коши 9.7.5 y'' + 4y = 4ctg 2x, y(π/4)=3, y'(π/4)=2

Решение задачи Коши

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Нахождение общего решения однородного уравнения:

Характеристическое уравнение: \( r^2 + 4 = 0 \).

Корни: \( r_{1,2} = \pm 2i \).

Общее решение однородного уравнения: \( y_0 = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \).

2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом вариации постоянных:

Предполагаем частное решение в виде: \( y_p = C_1(x) \cos(2x) + C_2(x) \sin(2x) \).

Находим производные \( C_1'(x) \) и \( C_2'(x) \) из системы:

\[ C_1'(x) \cos(2x) + C_2'(x) \sin(2x) = 0 \]

\[ -2C_1'(x) \sin(2x) + 2C_2'(x) \cos(2x) = 4 \operatorname{ctg}(2x) \]

Умножаем первое уравнение на \( 2 \cos(2x) \) и второе на \( \sin(2x) \):

\[ 2C_1'(x) \cos^2(2x) + 2C_2'(x) \sin(2x)\cos(2x) = 0 \]

\[ -2C_1'(x) \sin^2(2x) + 2C_2'(x) \sin(2x)\cos(2x) = 4 \operatorname{ctg}(2x) \sin(2x) = 4 \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} \sin(2x) = 4 \cos(2x) \]

Вычитаем второе из первого:

\[ 2C_1'(x) (\cos^2(2x) + \sin^2(2x)) = -4 \cos(2x) \]

\[ 2C_1'(x) = -4 \cos(2x) \implies C_1'(x) = -2 \cos(2x) \]

Находим \( C_2'(x) \):

\[ C_1'(x) = -2 \cos(2x) \implies -2(-2 \cos(2x)) \sin(2x) + 2C_2'(x) \cos(2x) = 0 \]

\[ 4 \sin(2x)\cos(2x) + 2C_2'(x) \cos(2x) = 0 \]

\[ 2C_2'(x) \cos(2x) = -4 \sin(2x)\cos(2x) \implies C_2'(x) = -2 \sin(2x) \]

Интегрируем \( C_1'(x) \) и \( C_2'(x) \):

\[ C_1(x) = \int -2 \cos(2x) dx = -\sin(2x) \]

\[ C_2(x) = \int -2 \sin(2x) dx = \cos(2x) \]

Частное решение: \( y_p = (-\sin(2x)) \cos(2x) + (\cos(2x)) \sin(2x) = 0 \).

3. Общее решение неоднородного уравнения:

\( y = y_0 + y_p = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \).

4. Применение начальных условий:

Найдём первую производную общего решения:

\[ y' = -2C_1 \sin(2x) + 2C_2 \cos(2x) \]

При \( x = \frac{\pi}{4} \):

\[ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = C_1 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + C_2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = C_1 \cdot 0 + C_2 \cdot 1 = C_2 \]

По условию \( y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3 \), следовательно, \( C_2 = 3 \).

\[ y'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2C_1 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2C_2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2C_1 \cdot 1 + 2C_2 \cdot 0 = -2C_1 \]

По условию \( y'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \), следовательно, \( -2C_1 = 2 \implies C_1 = -1 \).

5. Частное решение задачи Коши:

Подставляем найденные значения \( C_1 \) и \( C_2 \) в общее решение:

\[ y(x) = -1 \cdot \cos(2x) + 3 \cdot \sin(2x) \]

Ответ: \( y(x) = 3 \sin(2x) - \cos(2x) \).