9. AB = BC. BN = 4. BM = ?

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABN\) и \(\triangle CBM\).

1. \(AB=BC\) по условию.
2. Углы при вершине \(B\) равны, так как это один и тот же угол: \(\angle ABN=\angle CBM\).
3. Отмеченные углы равны: \(\angle BAN=\angle BCM\).

Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому соответствующие стороны равны:

\(BN=BM\).

Так как \(BN=4\), то \(BM=4\).

Ответ: \(BM=4\).