Андерсен был поэтом бедняков, несмотря на то, что Короли считали за честь пожать его сухощавую руку. Здесь нужно поставить запятую после слова 'бедняков', так как дальше идёт вводное слово. В слове 'несмотря' нужно писать слитно, так как это предлог, а также нужно поставить запятую перед словом 'что', так как это союзное слово.