9. \(\angle\) M, \(\angle\) MNP, \(\angle\) P - ? Given a triangle MNP, with point K on MP. ∠ NKM = 110 degrees. NK bisects ∠ MNP. MK = KP (segment NK is a median to MP).

Задание 9

Дан треугольник MNP. Точка K лежит на стороне MP.

• ∠ NKM = 110°.
• NK - биссектриса ∠ MNP.
• MK = KP (NK - медиана к стороне MP).

Найти углы ∠ M, ∠ MNP, ∠ P.

Решение:

1. ∠ NKM и ∠ NKP - смежные углы. Их сумма равна 180°.

∠ NKP = 180° - ∠ NKM = 180° - 110° = 70°.

2. В △ NKP:

NK - биссектриса ∠ MNP, значит ∠ MNK = ∠ KNP.

MK = KP, значит △ NKP - равнобедренный с основанием NP.

Следовательно, ∠ KNP = ∠ KPN = ∠ P.

Сумма углов в △ NKP равна 180°.

∠ NKP + ∠ KNP + ∠ P = 180°.

70° + ∠ P + ∠ P = 180°.

2∠ P = 180° - 70°.

2∠ P = 110°.

∠ P = 55°.

3. Так как ∠ KNP = ∠ P, то ∠ KNP = 55°.

4. NK - биссектриса ∠ MNP, значит ∠ MNK = ∠ KNP = 55°.

Следовательно, ∠ MNP = ∠ MNK + ∠ KNP = 55° + 55° = 110°.

5. В △ MNP:

Сумма углов равна 180°.

∠ M + ∠ MNP + ∠ P = 180°.

∠ M + 110° + 55° = 180°.

∠ M = 180° - 110° - 55°.

∠ M = 15°.

Ответ: ∠ M = 15°, ∠ MNP = 110°, ∠ P = 55°.