9. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК = 9, СК = 15..

Решение:

1. Так как ABCD — параллелограмм, то AB || DC и AD || BC. Также противоположные стороны равны: AB = DC, AD = BC.

2. Биссектриса угла A делит угол пополам. Обозначим \( ∠ BAK = ∠ KAD \).

3. Так как AD || BC, то \( ∠ KAD = ∠ AKB \) как накрест лежащие углы.

4. Следовательно, \( ∠ BAK = ∠ AKB \).

5. Треугольник ABK является равнобедренным, так как углы при основании AK равны. Значит, AB = BK.

6. По условию, BK = 9, значит, AB = 9.

7. Сторона BC равна сумме отрезков BK и CK: BC = BK + CK = 9 + 15 = 24.

8. Так как ABCD — параллелограмм, то AD = BC = 24.

9. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле P = 2 * (a + b), где a и b — длины смежных сторон.

P = 2 * (AB + BC) = 2 * (9 + 24) = 2 * 33 = 66.

Ответ: 66.