9) C=90°, AB=32, sin A = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)

Решение:

1. Анализ данных:

   У нас есть прямоугольный треугольник (так как C=90°). Нам известна длина гипотенузы AB = 32 и синус одного из острых углов (sin A = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)).

2. Нахождение противолежащего катета (BC):

   По определению синуса в прямоугольном треугольнике, синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

   \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

   Выразим BC:

   \[ BC = AB \cdot \sin A \]

   Подставим известные значения:

   \[ BC = 32 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} \]

   Сократим 32 и 4:

   \[ BC = 8 \cdot \sqrt{7} \]
3. Нахождение прилежащего катета (AC):

   Мы можем использовать теорему Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\).

   \[ AC^2 = AB^2 - BC^2 \]
   \[ AC^2 = 32^2 - (8\sqrt{7})^2 \]
   \[ AC^2 = 1024 - (64 \cdot 7) \]
   \[ AC^2 = 1024 - 448 \]
   \[ AC^2 = 576 \]

   Найдем AC, извлекая квадратный корень:

   \[ AC = \sqrt{576} \]
   \[ AC = 24 \]

Ответ: Катет BC = \(8\sqrt{7}\), Катет AC = 24.